sisi lain dari matematika

keunikan angka 6

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

1 + 2 + 3 + .......+ 66 = 2211

1 + 2 + 3 + .......+ 666 = 222111

1 + 2 + 3 + .......+ 6666 = 22221111

1 + 2 + 3 + .......+ 66666 = 2222211111

1 + 2 + 3 + .......+ 666666 = 222222111111

 keunikan angka 9



12345679 x 9 = 111.111.111



12345679 x 18 = 222.222.222



12345679 x 27 = 333.333.333



12345679 x 36 = 444.444.444



12345679 x 45 = 555.555.555



12345679 x 54 = 666.666.666



12345679 x 63 = 777.777.777



12345679 x 72 = 888.888.888



12345679 x 81 = 999.999.999



Sekarang coba sendiri oleh anda, tentang keistimewaan lain dari angka 9, dengan membuat hasil kali bilangan 123456789 dengan sembilan buah bilangan asli kelipatan 9 yang pertama. Adakah hal yang menarik dari hasil kali tersebut ?



Daftar hasil kali bilangan 987654321 dengan sembilan bilangan asli kelipatan 9 yang pertama tampak seperti berikut :



987654321 x 9 = 8.888.888.889



987654321 x 18 = 17.777.777.778



987654321 x 27 = 26.666.666.667



987654321 x 36 = 35.555.555.556



987654321 x 45 = 44.444.444.445



987654321 x 54 = 53.333.333.334



987654321 x 63 = 62.222.222.223



987654321 x 72 = 71.111.111.112



987654321 x 81 = 80.000.000.001



Berikut hasil keunikan dari angka 9.

1 x 9 + 2 = 11



12 x 9 + 3 = 111



123 x 9 + 4 = 1111



1234 x 9 + 5 = 11111



12345 x 9 + 6 = 111111



123456 x 9 + 7 = 1111111



1234567 x 9 + 8 = 11111111



12345678 x 9 + 9 = 111111111



Fakta Unik Angka 9-Ini juga :



9 x 9 + 7 = 88



98 x 9 + 6 = 888



987 x 9 + 5 = 8888



9876 x 9 + 4 = 88888



98765 x 9 + 3 = 888888



987654 x 9 + 2 = 8888888



9876543 x 9 + 1 = 88888888



98765432 x 9 + 0 = 888888888



FAKTA UNIK ANGKA 9

Satu

0 x 9 + 0 = 0

1 x 9 + 1 = 10

12 x 9 + 2 = 110

123 x 9 + 3 = 1110

1234 x 9 + 4 = 11110

12345 x 9 + 5 = 111110

123456 x 9 + 6 = 1111110

1234567 x 9 + 7 = 11111110

12345678 x 9 + 8 = 111111110

123456789 x 9 + 9 = 1111111110

FAKTA UNIK ANGKA 9



Dua

1 x 1 = 1

11 x 11 = 121

111 x 111 = 12321

1111 x 1111 = 1234321

11111 x 11111 = 123454321

111111 x 111111 = 12345654321

1111111 x 1111111 = 1234567654321

11111111 x 11111111 = 123456787654321

111111111 x 111111111 = 12345678987654321



 FAKTA UNIK ANGKA 9



Tiga

1 x 8 + 1 = 9

12 x 8 + 2 = 98

123 x 8 + 3 = 987

1234 x 8 + 4 = 9876

12345 x 8 + 5 = 98765

123456 x 8 + 6 = 987654

1234567 x 8 + 7 = 9876543

12345678 x 8 + 8 = 98765432

123456789 x 8 + 9 = 987654321



FAKTA UNIK ANGKA 9



Empat

1 x 18 + 1 = 19

12 x 18 + 2 = 218

123 x 18 + 3 = 2217

1234 x 18 + 4 = 22216

12345 x 18 + 5 = 222215

123456 x 18 + 6 = 2222214

1234567 x 18 + 7 = 22222213

12345678 x 18 + 8 = 222222212

123456789 x 18 + 9 = 2222222211

FAKTA UNIK ANGKA 9

Lima

123456789 + 987654321 = 1111111110

1 x 142857 = 142857 (angka sama)

2 x 142857 = 285714 (angka sama beda urutan )

3 x 142857 = 428571 (angka sama beda urutan)

4 x 142857 = 571428 (angka sama beda urutan )

5 x 142857 = 714285 (angka sama beda urutan)

6 x 142857 = 857142 (angka sama beda urutan)

7 x 142857 = 999999 (hasil yang fantastis!)



FAKTA UNIK ANGKA 9

Enam

Bilangan sembarang jika dikalikan 9, kemudian angka-angka hasilnya dijumlahkan, maka hasilnya = 9. Mari kita buktikan.

1 x 9 = 9

2 x 9 = 18, jumlah 1 + 8 = 9

3 x 9 = 27, jumlah 2 + 7 = 9

4 x 9 = 36, jumlah 3 + 6 = 9

5 x 9 = 45, jumlah 4 + 5 = 9

6 x 9 = 54, jumlah 5 + 4 = 9

7 x 9 = 63, jumlah 6 + 3 = 9

8 x 9 = 72, jumlah 7 + 2 = 9

9 x 9 = 81, jumlah 8 + 1 = 9

10 x 9 = 90, jumlah 9 + 0 = 9, dst., sampai tak terhingga.



FAKTA UNIK ANGKA 9

Tujuh

22 x 9 = 198,

cara cepatnya 2 x 9 = 18, lalu selipkan angka 9 ditengah, jadi 198.

33 x 9 = 297

44 x 9 = 396

55 x 9 = 495

66 x 9 = 594

77 x 9 = 693

88 x 9 = 792

99 x 9 = 891



FAKTA UNIK ANGKA 9-Jika angka kembar 3 digit, maka tinggal selipkan 99 ditengahnya. Kita buktikan ya!

222 x 9 = 1998, cara cepat 2 x 9 = 18, selipkan 99 ditengah

333 x 9 = 2997

444 x 9 = 3996

555 x 9 = 4995

pengertian trigonometri

modul matematika SMA

hubungan fungsi trigonometri

geometri ruang.pdf

Geometri.pdf

rumus-rumus bangun datar

contoh soal trigonometri dan penerapannya

contoh soal dimensi tiga

giometri bidang datar.pptx

fungsi kuadrat.pdf

aritmatika.pptx

sifat-sifat sudut.pdf

Jawaban soal aritmatika (A)

           Jawaban soal aritmatika (A)

1.     Jawaban :   B

U_n  = a + ( n – 1 )b

             U₁₀ = a + 9b = 41 

      U₅   = a + 4b = 21  _

5b = 20    → b = 4

a + 4b = 21 → a + 4.4 =21 → a + 16 = 21→ a  =5

U₅₀  = a + ( 50 – 1 )4

        = 5 +  49.4

        = 5 + 196

        = 201           

2.     Jawaban : A

U_n   = S_n – S_{n – 1}

U₂₀ = S₂₀ – S₁₉ = (20² + 5.20) – (19² + 5.19)

  = 500 – 456 = 44

3.     Jawaban : D

Diketahui : a = 120 kg, b = 10 kg, n = 10 bln

 = 1.650 kg

4.     Jawaban : D

U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 165

(a + b) + (a + 14b) + (a + 39b) = 165

3a + 54b  = 165 (dibagi 3)

 a + 18b   = 55

Jadi U₁₉  = a + 18b = 55

Contoh soal aritmatika (A)

               Contoh soal aritmatika (A)

1. Dari barisan aritmatika diketahui suku ke-10 adalah 41 dan suku ke-5  adalah 21, maka besarnya suku ke-50 adalah ....

A.      200                  D. 203

B.      201                  E. 204

C.      202

2.      Jumlah n suku pertaman deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = n² + 5n. Suku ke-20 dari deret aritmetika tersebut adalah ….

A.      44           D. 38

B.      42           E. 36

C.      40

(UN 2012)

3.      Seorang penjual daging pada bulan januari dapat menjual 120 kg, bulan Februari 130 kg, Maret dan seterusnya selama 10 bulan selalu bertambah 10 kg dari bulan sebelumnya. Jumlah daging yang terjual selama 10 bulan adalah ….

A.      1.050 kg D. 1.650 kg

B.      1.200 kg E. 1.750 kg

C.      1.350 kg

(UN 2011 P54)

4.      Diketahui barisan aritmetika dengan Un adalah suku ke–n. Jika U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 165, maka U₁₉ = ….

A.      10           D. 55

B.      19           E. 82,5

C.      28,5

(UN 2010 P12)

Pembahasan soal aritmatika (B)

          Pembahasan soal aritmatika (B)

1.       Barisan yang terbentuk adalah: 1, 3, 5, 7, ...
Suku pertama a = 1
Beda b = 3 − 1 = 2

a) Jumlah burung pada barisan terakhir
Barisan terakhir berarti n = 10 menentukan suku ke -10 atau U₁₀:
Un = a + (n − 1)b
U₁₀ = 1 + (10 − 1)2
U₁₀ = 1 + 9 × 2 = 1 + 18 = 19 burung

b) Jumlah semua burung yang ikut ada dalam kelompok tersebut
Jumlah 10 suku pertama, n = 10, mencari S₁₀
S_n = ⁿ/₂ [2a + (n − 1)b]
S₁₀ = ¹⁰/₂ [2×1 + (10 − 1)2]
S₁₀ = 5 [2 + 18] = 5× 20 = 100 burung

2.       a = 1
b = 12 − 4 = 8
n = 40
U_n = a + (n − 1)b
U₄₀ = 4 + (40 − 1)8
U₄₀ = 4 + 312 = 316

3.       a = − 10
b = −6 −(−10) = 4
n = 17

Un = a + (n−1)b
U₁₇ = −10 + (17 − 1)4 = −10 + 64 = 54

4.       99, 93, 87, 81,...
a = 99
b = 93 − 99 = −6

Un = a + (n −1)b
Un = 99 + (22 − 1)(−6)
Un = 99 + (21)( −6) = 99 − 126 = − 27

5.       U₉ = 2n (n − 1) = 2(9) (9 − 1) = 18 (8) = 144
U₇ = 2n (n − 1) = 2(7) (7 − 1) = 14 (6) = = 64
U₉ − U₇ = 144 − 64 = 80

6.       Perhatikan polanya adalah sebagai berikut:

50,      45,     39,     32,  .....,    ......
     ^{_____     _____     _____     ______     ______}
      − 5       −6        −7         −8          −9

Sehingga suku berikutnya adalah 32 − 8 = 24 dan 24 − 9 = 15

7.       Un = a + (n − )b
Untuk suku ke-4
U₄ = a + (4 − 1)b
24 = a + 3b ....persamaan (1)

Untuk suku ke-9
U₉ = a + (9 − 1)b
44 = a + 8b ....persamaan (2)

Gabungkan persamaan (2) dan (1)

8.       Dari:
3, 6, 9,...

a = 3
b = 3
U8 =......

Un = a + (n − 1)b
U8 = 3 + (8 − 1)3 = 3 + 7(3) = 3 + 21 = 24 batu-bata

9.       Data:
U₄ + U₇ = 81
U₄ = a + 3b dan U₇ = a + 6b sehingga
U₄ + U₇ = (a + 3b) + (a + 6b)
U₄ + U₇ = 2a + 9b
81 = 2a + 9b
81 = 2a + 9(5)
81 = 2a + 45
2a = 81 − 45
2a = 36
a = 18
U₁ = a = 18

10.     Data :
U₁ = a = 2
U₆ = a + 5b
U₄ = a + 3b

U₆ − U₄ = 14
a + 5b −(a + 3b) = 14
2b = 14
b = 14/2 = 7

Sehingga suku ke-8
U₈ = a + 7b
U₈ = 2 + 7(7) = 2 + 59 = 51

contoh soal aritmatika B